>>>Kümeler<<<

KÜMELER

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,

a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin
elemanı değildir.” diye okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

A = {a, b, {a, b, c}} Ş s(A) = 3 tür.

2. Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özelliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade “x ” biçiminde de yazılabilir.

3. Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ilegösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C º D biçiminde gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

D. BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

{.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME

1. Alt Küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B'nin alt kümesi denir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ÉA biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

2. Özalt Küme

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özellikleri

1) Her küme kendisinin alt kümesidir.

A Ì A

2) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Æ Ì A

3) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.

4) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.

5) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿve özalt kümelerinin sayısı 2ⁿ – 1 dir.

6) n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı

F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

1. Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.

A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.

2. Birleşim Işleminin Özellikleri

1) A È Æ = Ai

2) A È A = A

3) A ÈB = B È A

4) A È (B È C) = (A È B) È Cv) A Ì B ise, A È B = B

5) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B ninkesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.

4. Kesişim Işleminin Özellikleri

1) A Ç Æ = Æ

2) A Ç A = A

3) A Ç B = B Ç A

4) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

5) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

6) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G. EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A’ ile gösterilir.

A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.

Tümleyenin Özellikleri

1) E = Æ

2) Æ = E

3) ()= A

4) A È A = E ve A Ç A = Æ

5) A È B = A Ç B

6) A Ç B = A ÈB

7) E È A = E ve E Ç A = A

8) A Ì B ise, B Ì A dir.

İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir.

A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.

Farkla İlgili Özellikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

1)E – A = A

2)A – B = A Ç B

3) A – B = A È B dir.

ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

1) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)

2) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C)– s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)

3) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)

4) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:

s(T) = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

s(A ÈB) = d